Na Zaproszenie do tańca składają się trzy różne historie: Circus, Ring Around the Rosy, Sinbad the Sailor. Odrębność każdej z opowieści podkreślona jest poprzez odmienne style tańca.
Część pierwsza - Circus -  utrzymana została w konwencji tradycyjnego widowiska baletowego. Jest to tragiczna historia miłości klauna (Gene Kelly) do artystki cyrkowej zakochanej w linoskoczku (Igor Youskevitch). Aby zdobyć serce ukochanej niezdarny klaun decyduje się wykonać trudny numer cyrkowy. Całości towarzyszy muzyka Jacquesa Ibreta.
Część druga - Ring Around Rosy - to przewrotna historia pewnej bransoletki okraszona muzyką Andre Previna. Bransoletka zostaje ofiarowana żonie przez męża. Ta z kolei przekazuje ją zalotnemu artyście (Igor Youskevitch). Artysta podaruje ją modelce, która z kolei przekaże ją kolejnej osobie. Bransoletka będzie zmieniała właścicieli by na końcu powrócić do męża niewiernej żony.
Ostatnia część - Sinbad the Sailor - to swoista wariacja na temat świata Baśni tysiąca i jednej nocy. Kelly gra marynarza, któremu zostaje sprzedana czarodziejska lampa. Mieszkający w lampie dżin przenosi marynarza w świat fantazji. Ta część jest pełna unikalnych scen, w których Kelly tańczy razem z "kreskówkowymi" postaciami z wytwórni Hanna-Barbera do muzyki Rimski-Korsakov'a.
Element jednoczącym ów tryptyk (obok postaci Kelly'ego, który gra w każdym epizodzie) jest taniec. Jako, że w filmie nie ma dialogów to właśnie taniec staje się głównym środkiem komunikacji z widzem.
Zaproszenie do tańca to hołd złożony tańcowi, to także reżyserski manifest artysty-tancerza.